MECÂNICA GRACELI GENER. - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [717]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

O efeito Kerr é um fenômeno que descreve a capacidade dos materiais para refratar ondas luminosas, que vibram em duas direções, quando está sobre efeito de um campo elétrico, descoberto em 1875 pelo físico e teólogo britânico escocês John Kerr.^[1]^[2] Este efeito é devido certas moléculas possuírem dipolos elétricos, que tendem ser orientados pela aplicação do campo.^[2]

O efeito Kerr ou efeito electro-óptico quadrático, é uma mudança no índice de refração que ocorre em todos os materiais em resposta à intensidade de um campo eléctrico. Certos líquidos apresentam um efeito maior. Este é distinto do Efeito Pockels, no qual a mudança de índice é diretamente proporcional ao quadrado do campo eléctrico, ao invés de proporcional à magnitude do campo.

O efeito Kerr electro-óptico ou efeito Kerr CC, é quando o campo elétrico tem uma lenta variação temporal após um campo externo aplicado, por exemplo, um par de eletrodos em volta do material fornecendo uma diferença de potencial. Este é usado nas "células de Kerr", as quais, em associação com polarizadores serve para modular a intensidade da luz para aplicações em telecomunicação.

O efeito Kerr óptico ou efeito Kerr CA, é o caso especial no qual o campo elétrico é devido à própria luz, e somente se manifesta com raios de intensidade muito alta tais como aqueles oriundos de um laser. O quadrado do campo elétrico produz um índice de refração lentamente variável o qual então age sobre a própria luz. Esta dependência da intensidade é responsável pelos efeitos ópticos não lineares da auto-focalização e da auto modulação de fase, e esta é a base para lentes de Kerr travadas por modulação.

Teoria

Efeito Kerr CC

Para um material não linear, o campo de polarização elétrica P dependerá do campo elétrico E:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi ^{(1)}\mathbf {E} +\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}\mathbf {EE} +\varepsilon _{0}\chi ^{(3)}\mathbf {EEE} +\dots

onde ε₀ é a permissividade no vácuo e χ⁽ⁿ⁾ é o componente de n-ésima ordem do campo da susceptibilidade elétrica do meio. Para um meio linear, somente o primeiro termo desta equação é relevante e a polarização varia linearmente com o campo elétrico.

Para materiais exibindo um efeito Kerr não desprezível, o terceiro termo , χ⁽³⁾ é relevante. Considere o campo elétrico líquido E produzido por uma onda luminosa de freqüência ω associado com um campo elétrico externo E₀:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}+\mathbf {E} _{\omega }\cos(\omega t),

onde E_ω é a amplitude vetorial da onda.

Combinando-se estas duas equações produz-se uma expressão complexa para P. Para o efeito Kerr CC, pode-se desprezar todos os termos exceto os termos linear e aqueles em $\chi ^{(3)}|\mathbf {E} _{0}|^{2}\mathbf {E} _{\omega }$ :

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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\mathbf {P} \simeq \varepsilon _{0}\left(\chi ^{(1)}+3\chi ^{(3)}|\mathbf {E} _{0}|^{2}\right)\mathbf {E} _{\omega }\cos(\omega t),

a qual é similar à relação linear entre polarização e o campo elétrico de uma onda, com um termo de susceptibilidade adicional não-linear proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico.

Para um meio não simétrico (p.ex. líquidos), esta mudança induzida de susceptibilidade produz uma mudança de índice de refração na direção do campo elétrico:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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\Delta n=\lambda _{0}K|\mathbf {E} _{0}|^{2},

onde λ₀ é o comprimento de onda do vácuo e K é a constante de Kerr para o meio. O campo aplicado induz birrefringencia no meio na direção do campo. Uma célula de Kerr com um campo aplicado transversal pode portanto actuar como uma placa de onda chaveável, girando o plano de polarização de uma onda que a atravessa. Em uma combinação com polarizadores, pode ser usado como um obturador (“shutter”) ou um modulador.

Os valores de K dependem do meio e são cerca de 9.4×10^-14 m V^-2 para a água, e 4.4×10^-12 m V^-2 para o nitrobenzeno.

Para cristais, a susceptibilidade do meio em geral deve ser um tensor, e o efeito Kerr produz uma modificação neste tensor.

Efeito Kerr CA

No efeito Kerr óptico (ou efeito Kerr CA), um raio intenso de luz em um meio pode prover a si mesmo o campo elétrico modulante, sem a necessidade de um campo elétrico externo a ser aplicado. Neste caso, o campo elétrico é dado por:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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\mathbf {E} =\mathbf {E} _{\omega }\cos(\omega t),

onde E_ω é a amplitude da onda, como antes.

Combinando esta com a equação da polarização, e tomando somente termos lineares e aqueles em χ⁽³⁾|E_ω|³:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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\mathbf {P} \simeq \varepsilon _{0}\left(\chi ^{(1)}+{\frac {3}{4}}\chi ^{(3)}|\mathbf {E} _{\omega }|^{2}\right)\mathbf {E} _{\omega }\cos(\omega t).

Como antes, esta se assemelha à susceptibilidade linear com um termo não-linear adicional:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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\chi =\chi _{\mathrm {LIN} }+\chi _{\mathrm {NL} }=\chi ^{(1)}+{\frac {3\chi ^{(3)}}{4}}|\mathbf {E} _{\omega }|^{2},

e desde que:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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n=(1+\chi )^{1/2}=\left(1+\chi _{\mathrm {LIN} }+\chi _{\mathrm {NL} }\right)^{1/2}\simeq n_{0}\left(1+{\frac {1}{2{n_{0}}^{2}}}\chi _{\mathrm {NL} }\right)

onde n₀=(1+χ_LIN)^1/2 é o índice de refração linear. Usando uma Série de Taylor já que χ_NL << n₀², esta dá um índice de refração dependente da intensidade (IRDI; em Inglês IDRI) de:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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n=n_{0}+{\frac {3\chi ^{(3)}}{8n_{0}}}|\mathbf {E} _{\omega }|^{2}=n_{0}+n_{2}I

onde n₂ é o índice de refração de segunda ordem não linear, e I é a intensidade da onda. A mudança do índice de refração é portanto proporcional à intensidade da luz atravessando o meio.

Os valores de n₂ são relativamente pequenos para a maioria de materiais, da ordem de 10^-20 m² W^-1 para vidros típicos. Portanto as intensidades do raio (radiâncias) da ordem de 1 GW cm^-2 (tais como as produzidas por lasers) são necessárias para produzir variações significativas no índice de refração via o efeito Kerr CA.

O efeito Kerr óptico se manifesta temporalmente como uma auto modulação de fase, um deslocamento de fase e freqüência auto-induzido de um pulso de luz ao atravessar o meio. Este processo, junto com a dispersão, pode produzir solitons (solitões em Portugal) ópticos.

Espacialmente, um raio intenso de luz em um meio produzirá uma mudança no índice de refração do meio que mimetiza o padrão de intensidade tranversa do raio. Por exemplo, um raio gaussiano resulta em um perfil de índice gaussiano, similar ao de uma lente de gradiente de índice. Isto determina o raio a focalizar a si mesmo, um fenômeno conhecido como autofocalização.

A tensão elétrica de Planck é a unidade de tensão elétrica, notada por V_P, no sistema de unidades naturais conhecido como unidades de Planck.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}\approx

1.04295 × 10²⁷ V

onde

$E_{P}$ é a energia de Planck

$q_{P}$ é a carga de Planck

$�$ é a velocidade da luz no vácuo

$�$ é a constante gravitacional.

Em eletromagnetismo e em geometria diferencial, o tensor eletromagnético ou tensor campo eletromagnético (às vezes chamado de tensor de Faraday ou bivector de Maxwell) é um objeto matemático que descreve o campo eletromagnético de um sistema físico. O tensor de campo foi usado pela primeira vez após a formulação do tensor quadridimensional da relatividade especial e foi introduzido por Hermann Minkowski. O tensor permite que algumas leis físicas possam ser escritas de uma forma muito concisa.

Definição

O tensor electromagnético, convencionalmente marcado F, é definido como a derivada exterior do quadripotencial eletromagnético, A, um diferencial de forma 1:^[1]^[2]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.

T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.

////// gaussianas [en] c.g.s. são:

A teoria do absorvedor de Wheeler e Feynman, também chamada teoria time-symmetric, teoria do meio absorvente^[1] ou teoria de ação à distância de Wheeler e Feynman,^[2]cujos criadores foram os físicos Richard Feynman e John Archibald Wheeler, é uma interpretação da eletrodinâmica que parte da ideia de que uma solução para as equações de campo eletromagnético tem que ser simétrica em relação ao inverso do tempo, tal como as próprias equações de campo. A razão disso é principalmente a importância da simetria T na Física. De fato não há razão aparente para que tal simetria deva ser quebrada e, portanto, uma direção do tempo não tem privilégios em relação à outra. Assim, uma teoria que respeite essa simetria parece mais elegante do que teorias em que se tem que eleger arbitrariamente uma direção do tempo como preferida em relação às demais.

Outra ideia-chave reminiscente do princípio de Mach e atribuída a Hugo Tetrode é a de que partículas elementares atuam sobre outras partículas elementares, que não elas próprias. Isso imediatamente remove o problema das autoenergias.

Resolução de problema de causalidade

T.C. Scott e R.A. Moore demonstraram que a aparente falta de causalidade, causada pela presença de avançado potenciaus de Liénard-Wiechert na sua formulação original pode ser removido através da fusão a sua teoria dentro de uma formulação totalmente relativista eletrodinâmica muitos de corpo, em termos de potenciais retardados apenas sem as complicações de a parte de absorção da teoria.^[3]^[4] Se considerarmos a Lagrangiana agindo sobre a partícula um dos campos de tempo simétricos gerados pela partícula 2, temos:

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$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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L_{1}=T_{1}-{\frac {1}{2}}\left((V_{R})_{1}^{2}+(V_{A})_{1}^{2}\right)

onde $T_{i}$ é a energia cinética relativística funcional de partícula i, e, $(V_{R})_{j}^{i}$ e $(V_{A})_{j}^{i}$ são, respectivamente, os potenciais retardados e avançado de Liénard-Wiechertagindo em partícula j dos campos eletromagnéticos gerados por partícula relativista i. Por outro lado, a lagrangiana correspondente para partícula 2 fez sinal por partícula 1 é:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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L_{2}=T_{2}-{\frac {1}{2}}\left((V_{R})_{2}^{1}+(V_{A})_{2}^{1}\right).

Foi inicialmente demonstrado com matemática experimental através de matemática simbólica^[5] e em seguida demonstrado matematicamente^[6] de que a diferença entre um potencial retardado de partícula i agir sobre partícula j, e o potencial avançado de j partícula agindo sobre a partícula i é simplesmente um tempo total derivado :

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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{\frac {dF}{dt}}=(V_{R})_{j}^{i}-(V_{A})_{i}^{j}

ou uma "divergência", como é chamado no cálculo das variações , porque em nada contribui para as equações de Euler-Lagrange. Assim, através da adição da quantidade adequada de derivados de tempo total para estes lagrangianas, os potenciais avançados podem ser eliminados. O Lagrangeano para o problema dos N-Corpos é, portanto:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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L=\sum _{i=1}^{N}T_{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}^{N}(V_{R})_{j}^{i}

em que os potenciais avançados não fazem nenhuma aparência. Além disso, esta apresenta simetria Lagrangiana partícula-partícula.^[3] Para $N=2$ este Lagrangiana gerará exactamente as mesmas equações do movimento de $L_{1}$ e $L_{2}$ e, conseqüentemente, a física do problema é preservada. Assim, do ponto de vista de um observador do lado de fora da visualização relativista problema n-corpo , tudo é causal. No entanto, se isolar as forças que atuam sobre um corpo particular, o potencial avançado faz a sua aparição. Esta reformulação do problema vem com um preço: o N-corpo Lagrangiana depende de todas as derivadas temporais das curvas traçadas por todas as partículas ou seja, o Lagrangiano é a ordem infinita. No entanto, sob simetria troca de partículas totais e Generalized Momenta (resultante da definição de uma ordem de Lagrange infinito) são conservados. O recurso que pode parecer uma não-local é que o princípio de Hamilton é aplicada a um sistema de muitas partículas relativista como um todo, mas isso é o máximo que se pode ir com a teoria clássica (não da mecânica quântica). No entanto, muito progresso foi feito em examinar a questão não resolvida da quantização da teoria.^[7]^[8]^[9] As soluções numéricas para o problema clássico também foram encontradas.^[10] Note também que esta formulação recupera a lagrangiana de Darwin de que a equação Breit foi originalmente derivada, mas sem os termos dissipativos. [4] Isso garante acordo com a teoria ea experiência até, mas não incluindo o desvio de Lamb. Uma vantagem importante de sua abordagem é a formulação de uma canônica impulso generalizado totalmente preservado, tal como apresentado em artigo de revisão abrangente à luz do paradoxo EPR.^[11]

Sempre que temos uma partícula carregada em uma órbita limitada numa região finita do espaço em que atua um campo de forças centrais, a adição de um campo magnético fraco produz um movimento de precessão sobreposto ao movimento inicial da partícula carregada (B = 0).

Demonstração

Demonstra-se o teorema de Larmor considerando-se a descrição do movimento de uma partícula carregada em um campo central e um campo magnético em relação a um sistema de coordenadas que gira a uma velocidade angular constante. As fórmulas para a velocidade e aceleração num sistema em rotação levam a

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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\mathbf {v} =\mathbf {v'} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}

\mathbf {a} =\mathbf {a'} +2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v'} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )

onde v e a são, respectivamente, a velocidade e a aceleração da partícula em relação ao sistema de coordenadas em rotação (grandezas vetoriais) e o x refere-se ao produto vetorial ou externo. Fazendo algumas manipulações algébricas, chega-se a

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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$m\mathbf {a'} =f(\mathbf {r} )e\mathbf {r} -{\frac {e^{2}}{4m}}(\mathbf {B} \times \mathbf {r} )\times \mathbf {B}$ .

Em campos magnéticos fracos, o termo B² é desprezível; assim, temos a equação aproximada do movimento:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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$m\mathbf {a} =f(\mathbf {r} )e\mathbf {r}$

Assim, numa primeira aproximação, o movimento de uma partícula na presença de um campo magnético tem a mesma órbita que sem o campo magnético, mas com uma precessão a uma velocidade angular -wLk.

Nota: wL é a freqüência angular de Larmor, r é o vetor unitário que representa a direção radial utilizada em coordenadas cilíndricas, esféricas e outras, e é a carga da partícula, e k é o vetor unitário na direção do eixo z.

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